iPhone単体でiOS9へアップデートをすると固まってしまい、再起動できなくなる事例が見受けられます。
OSのアップデートはiPhone単体でせずに、PCへ繋いでiTunesを用いて行うことをお勧めします。

今回は実際の方法です。バックアップ

画像の通りにクリックして、アップデートすればOKです。

また、当店へ修理にお越しになる前にも、同様の方法でバックアップのみ行うと、何かあった時に元に戻すことができます。

参考までにどうぞ！